Ознаки подільності — це набір коротких правил, які дають відповідь на питання «чи поділиться число на 2, 3, 4, 5, 9 чи 10?» без ділення в стовпчик. Достатньо глянути на останню цифру або порахувати суму цифр — і результат уже відомий.
Уявіть вечір над зошитами: четвертокласник має скоротити дріб, а ділення в стовпчик забирає по п’ять хвилин на кожне число. Ознаки економлять ці хвилини й, що важливіше, зменшують кількість помилок — адже рахувати суму цифр простіше, ніж ділити чотирицифрове число.
Нижче — шість шкільних ознак і два корисні бонуси, з прикладами та перевіркою, таблицею для пам’яті й вправами з відповідями.
Навіщо взагалі ці ознаки подільності
У початковій школі діти ділять у стовпчик і не замислюються, що частину роботи можна зробити в голові. У 5–6 класах з’являються дроби, і там ознаки працюють щодня: щоб скоротити 84/126, треба швидко побачити спільні дільники чисельника й знаменника.
Друга причина — контроль. Дитина розв’язала приклад і отримала 471 : 3 = 157. Як перевірити? Порахувати суму цифр: 4 + 7 + 1 = 12, ділиться на 3, отже відповідь правдоподібна. Це швидше, ніж множити 157 на 3 у стовпчик.
Той, хто впевнено тримає в голові таблицю множення, помічає закономірності майже автоматично: 25 і 75 у кінці числа одразу нагадують про ділення на 25, а парна остання цифра — про двійку.
Остання цифра розкаже про 2, 5 і 10
Ознака подільності на 2
Число ділиться на 2, якщо його остання цифра парна: 0, 2, 4, 6 або 8. Решта цифр не має значення — хоч мільйон, хоч десять.
- 348 — остання цифра 8, парна. Перевірка: 348 : 2 = 174. Так.
- 1 275 — остання цифра 5, непарна. 1 275 : 2 = 637,5. Ні.
- 4 916 — остання цифра 6. Перевірка: 4 916 : 2 = 2 458. Так.
Ознака подільності на 5
Число ділиться на 5, якщо закінчується на 0 або 5. Це видно з таблиці множення на 5: усі результати — 5, 10, 15, 20… — мають такий кінець.
- 785 — кінець на 5. Перевірка: 785 : 5 = 157. Так.
- 1 240 — кінець на 0. Перевірка: 1 240 : 5 = 248. Так.
- 333 — кінець на 3. 333 : 5 = 66,6. Ні.
Ознака подільності на 10
Найпростіша: число ділиться на 10, тільки якщо закінчується на 0. Ділення на 10 — це просто відкинути нуль у кінці.
- 340 — кінець на 0. Перевірка: 340 : 10 = 34. Так.
- 1 200 — кінець на 0. Перевірка: 1 200 : 10 = 120. Так.
- 45 — кінець на 5. 45 : 10 = 4,5. Ні.
Ознаки подільності на 3 і на 9: рахуємо суму цифр
Тут остання цифра нічого не варта — дивитися треба на все число. Зате й обчислень небагато: додаємо цифри й перевіряємо, чи ділиться сума.
Ознаки подільності на 3
Число ділиться на 3, якщо сума його цифр ділиться на 3. Суму можна рахувати в будь-якому порядку й навіть частинами — результат однаковий.
- 471: 4 + 7 + 1 = 12. 12 : 3 = 4. Отже, 471 ділиться на 3. Перевірка: 471 : 3 = 157.
- 682: 6 + 8 + 2 = 16. 16 на 3 не ділиться (16 : 3 = 5 із остачею 1). Отже, ні. Перевірка: 682 : 3 = 227,33…
- 5 214: 5 + 2 + 1 + 4 = 12. Ділиться. Перевірка: 5 214 : 3 = 1 738.
Ознаки подільності на 9
Правило майже таке саме, тільки сума цифр має ділитися на 9. Через це чисел, кратних 9, помітно менше, ніж кратних 3.
- 738: 7 + 3 + 8 = 18. 18 : 9 = 2. Так. Перевірка: 738 : 9 = 82.
- 4 527: 4 + 5 + 2 + 7 = 18. Так. Перевірка: 4 527 : 9 = 503.
- 1 234: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. 10 на 9 не ділиться. Ні. Перевірка: 1 234 : 9 = 137,11…
Зручний наслідок: якщо число ділиться на 9, воно точно ділиться і на 3. Наприклад, 738 ділиться на 9, а отже, і на 3: 738 : 3 = 246. Зворотне не працює — 12 ділиться на 3, але не на 9.
Ознаки подільності на 4: дивимося на дві останні цифри
Число ділиться на 4, якщо число, утворене двома його останніми цифрами, ділиться на 4. Решту цифр можна взагалі не читати.
- 1 316 — дві останні цифри 16. 16 : 4 = 4. Так. Перевірка: 1 316 : 4 = 329.
- 2 730 — дві останні цифри 30. 30 : 4 = 7,5. Ні. Перевірка: 2 730 : 4 = 682,5.
- 5 548 — дві останні цифри 48. 48 : 4 = 12. Так. Перевірка: 5 548 : 4 = 1 387.
Чому працює саме так? Бо 100 ділиться на 4 без остачі, а будь-яке число — це сотні, тисячі й так далі плюс залишок із двох останніх цифр. Сотні й більші розряди кратні 4, тож усе вирішують дві останні цифри.
Бонус: подільність на 6 і на 25
Ознака подільності на 6
Число ділиться на 6, якщо воно ділиться і на 2, і на 3 одночасно. Тобто перевіряємо дві умови: парна остання цифра плюс сума цифр кратна 3. У природі так само: різні форми природного добору спрацьовують за різних умов, а не по одному шаблону.
- 732 — парне, 7 + 3 + 2 = 12, ділиться на 3. Так. Перевірка: 732 : 6 = 122.
- 918 — парне, 9 + 1 + 8 = 18, ділиться на 3. Так. Перевірка: 918 : 6 = 153.
- 524 — парне, але 5 + 2 + 4 = 11, на 3 не ділиться. Ні. Перевірка: 524 : 6 = 87,33…
Ознака подільності на 25
Число ділиться на 25, якщо дві останні цифри — це 00, 25, 50 або 75. Інших варіантів немає.
- 1 375 — кінець 75. Так. Перевірка: 1 375 : 25 = 55.
- 2 400 — кінець 00. Так. Перевірка: 2 400 : 25 = 96.
- 630 — кінець 30, такого варіанта немає. Ні. Перевірка: 630 : 25 = 25,2.
Ця ознака добре працює з цінами: якщо товар коштує 1 375 гривень і є знижка «чверть ціни», то ділити на 4 зручно, перевіривши подільність числа на 4. До речі, порахувати чверть — це те саме, що знайти відсоток від числа, тільки замість 25% рахуємо 1/4.
Таблиця для пам’яті
| Дільник | Що перевіряємо | Приклад |
|---|---|---|
| 2 | остання цифра парна: 0, 2, 4, 6, 8 | 348 — так, 1 275 — ні |
| 3 | сума цифр ділиться на 3 | 471 — так (12), 682 — ні (16) |
| 4 | дві останні цифри діляться на 4 | 1 316 — так (16), 2 730 — ні (30) |
| 5 | остання цифра 0 або 5 | 785 — так, 333 — ні |
| 6 | ділиться на 2 і на 3 | 732 — так, 524 — ні |
| 9 | сума цифр ділиться на 9 | 738 — так (18), 1 234 — ні (10) |
| 10 | остання цифра 0 | 340 — так, 45 — ні |
| 25 | дві останні цифри: 00, 25, 50, 75 | 1 375 — так, 630 — ні |
Де це знадобиться на уроці й у житті
Скорочення дробів — головна сцена. Візьмімо 84/126. Обидва числа парні, отже, ділимо на 2: 42/63. Далі сума цифр 4 + 2 = 6 і 6 + 3 = 9 — обидва діляться на 3, скорочуємо: 14/21. І ще раз на 7 — виходить 2/3. Той самий результат дає пошук найбільшого спільного дільника: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 126 = 2 · 3 · 3 · 7, спільна частина — 2 · 3 · 7 = 42, а 84 : 42 = 2 і 126 : 42 = 3.
Другий випадок — прикидка в магазині. На ціннику 1 240 гривень і знижка 25%. Покупцеві треба знати, як знайти відсоток від числа швидко, без калькулятора: 25% — це чверть, а 1 240 ділиться на 4 (останні цифри 40), отже, знижка 310 гривень.
Третій — розподіл порівну. 738 цукерок на 9 подарунків: сума цифр 18, ділиться на 9, отже, по 82 цукерки в кожен. Перевірили в голові за секунду й одразу знаєте, що ділення буде без остачі.
Вправи з відповідями
Спробуйте спершу розв’язати самостійно, а потім звіртеся. Відповіді наприкінці списку.
- Чи ділиться 738 на 9?
- Чи ділиться 4 316 на 4?
- Чи ділиться 2 475 на 3? А на 5? А на 6?
- Чи ділиться 5 640 на 10? На 9? На 4?
- Скоротіть дріб 126/210, користуючись ознаками подільності.
- Чи ділиться 1 375 на 25?
Відповіді. 1. Так: 7 + 3 + 8 = 18, а 18 ділиться на 9 (738 : 9 = 82). 2. Так: останні дві цифри 16, а 16 : 4 = 4 (4 316 : 4 = 1 079). 3. На 3 — так, бо 2 + 4 + 7 + 5 = 18; на 5 — так, бо кінець на 5; на 6 — ні, бо число непарне. 4. На 10 — так (кінець на 0); на 9 — ні, бо 5 + 6 + 4 + 0 = 15, а 15 на 9 не ділиться; на 4 — так, бо 40 : 4 = 10. 5. Обидва числа діляться на 2 і на 3, тобто на 6: 126 : 6 = 21, 210 : 6 = 35. Далі 21 і 35 діляться на 7: виходить 3/5. 6. Так: останні дві цифри 75 (1 375 : 25 = 55).
Часті запитання
Чи можна перевіряти подільність на 3, не додаючи всі цифри?
Можна. Цифри 3, 6 і 9 можна просто викреслювати — вони не змінюють остачу від ділення на 3. Так само відкидаємо пари, що в сумі дають 3, 6 або 9, наприклад 1 і 2 або 4 і 5. У числі 4 527 одразу видно 4 + 5 = 9 і 2 + 7 = 9, отже, сума кратна 9.
Чому для 4 дивляться саме на дві останні цифри?
Бо 100 ділиться на 4. Будь-яке число можна розкласти на сотні, тисячі та інші круглі частини плюс залишок із двох останніх цифр. Усі круглі частини кратні 4, тож доля числа вирішується двома останніми цифрами.
Чи ділиться число на 6, якщо воно ділиться на 2 і на 4?
Не завжди. 8 ділиться і на 2, і на 4, але на 6 не ділиться. Для шістки потрібні саме 2 і 3: число має бути парним, а сума його цифр — кратною 3.
Що робити з великим числом, як 12 345 678?
Для 2, 5 і 10 достатньо останньої цифри — тут це 8, отже, на 2 число ділиться. Для 3 і 9 рахуйте суму цифр частинами: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, а 36 ділиться і на 3, і на 9. Для 4 і 25 дивіться лише на дві останні цифри — 78 і 78.
Ознаки подільності не замінюють розуміння ділення, але добре його доповнюють. Почніть із найпростіших — на 2, 5 і 10, потім додайте суму цифр для 3 і 9, а вже після цього беріться за 4, 6 і 25. Кілька тренувань на реальних числах із цінників, номерів будинків і дат — і дитина почне бачити ці закономірності сама, без нагадувань.
