Як розв’язувати рівняння, стає зрозуміло, щойно поглянути на нього не як на страшну формулу, а як на звичайне запитання. Було 40 гривень, після покупки залишилося 15 гривень. Скільки витратили? Дорослий порахує в голові за секунду, а в зошиті ця сама думка виглядає так: x + 15 = 40. Літера x — це просто число, яке ми поки не знаємо.
Дітям рівняння часто здаються окремою наукою, хоча це та сама арифметика, тільки з невідомим. Усе, що потрібно, — уважно подивитися, яку дію виконували з числом, і зробити навпаки. Додавали — віднімаємо. Множили — ділимо.
Нижче — покрокові приклади для 5–6 класу: від найпростіших до тих, де невідоме стоїть з обох боків. Кожен крок супроводжується перевіркою, бо саме вона вчить дитину довіряти собі, а не відповідям у кінці підручника.
Що таке рівняння і що називають коренем
Рівняння — це рівність, у якій є невідоме число, найчастіше позначене літерою. Корінь рівняння — те значення невідомого, при якому рівність стає правильною. У рівнянні x + 15 = 40 коренем буде 25, бо 25 + 15 справді дорівнює 40.
Розв’язати рівняння означає знайти його корінь. Перевірка робиться просто: підставляємо знайдене число замість літери й рахуємо. Якщо ліва і права частини збіглися — корінь правильний. Якщо ні — десь у кроці помилка, і краще шукати її одразу, поки свіжа голова.
Буває, що коренів немає або їх кілька. У 5–6 класі такі випадки трапляються рідко, але корисно знати: рівняння — це не завжди «одне число у відповіді». А ще згадаймо, що форми природного добору — рушійний, стабілізувальний і розривний — теж показують: варіантів може бути кілька.
Як знайти невідомий компонент: шість правил
Перед тим як розв’язувати рівняння складніші, варто впевнено почуватися з найпростішими. Усі правила для них виводяться з того, як пов’язані між собою компоненти дії. Зручно тримати їх перед очима таблицею.
| Компонент | Як знайти | Приклад |
|---|---|---|
| Невідомий доданок | від суми відняти відомий доданок | x + 15 = 40 → x = 25 |
| Зменшуване | до різниці додати від’ємник | x − 12 = 30 → x = 42 |
| Від’ємник | від зменшуваного відняти різницю | 50 − x = 18 → x = 32 |
| Множник | добуток поділити на відомий множник | 7 · x = 56 → x = 8 |
| Ділене | частку помножити на дільник | x : 6 = 9 → x = 54 |
| Дільник | ділене поділити на частку | 72 : x = 8 → x = 9 |
Далі — як це виглядає в зошиті. Правило варто проговорювати вголос, поки воно не стане автоматичним.
Як знайти невідомий доданок
Рівняння x + 15 = 40. Тут x і 15 — доданки, 40 — сума. Щоб знайти невідомий доданок, від суми віднімаємо відомий доданок: x = 40 − 15, тобто x = 25. Перевірка: 25 + 15 = 40. Усе сходиться.
Це правило діти засвоюють швидко, бо воно схоже на побутовий досвід: якщо разом 40 цукерок, а в мене 15, то в тебе 25.
Зменшуване, від’ємник, множник, ділене й дільник
Рівняння x − 12 = 30. Невідоме — зменшуване, те, від чого віднімають. До різниці додаємо від’ємник: x = 30 + 12 = 42. Перевірка: 42 − 12 = 30.
Рівняння 50 − x = 18. Невідоме — від’ємник. Від зменшуваного віднімаємо різницю: x = 50 − 18 = 32. Перевірка: 50 − 32 = 18.
Рівняння 7 · x = 56. Невідомий множник. Добуток ділимо на відомий множник: x = 56 : 7 = 8. Перевірка: 7 · 8 = 56. Якщо таблиця множення ще не відскакує від зубів, варто повернутися до неї окремо — вона економить купу часу на кожному уроці.
Рівняння x : 6 = 9. Невідоме — ділене. Частку множимо на дільник: x = 9 · 6 = 54. Перевірка: 54 : 6 = 9.
Рівняння 72 : x = 8. Невідоме — дільник. Ділене ділимо на частку: x = 72 : 8 = 9. Перевірка: 72 : 9 = 8. Тут легко переплутати ділене з дільником, тому перед розв’язуванням корисно назвати вголос, який саме компонент невідомий.
Як розв’язувати рівняння в кілька дій (5 клас)
Рівняння 5 класу — це вже два-три кроки. Головне правило: спершу прибираємо те, що стоїть «далі» від x, і поступово підходимо до нього впритул.
3x + 7 = 22
Крок 1. 3x — невідомий доданок, 7 — відомий, 22 — сума. Отже, 3x = 22 − 7 = 15.
Крок 2. Тепер 3 і x — множники. x = 15 : 3 = 5.
Перевірка: 3 · 5 + 7 = 15 + 7 = 22. Правильно.
(x − 4) · 5 = 35
Крок 1. Дужка — невідомий множник. (x − 4) = 35 : 5 = 7.
Крок 2. x − 4 = 7, тоді x = 7 + 4 = 11.
Перевірка: (11 − 4) · 5 = 7 · 5 = 35.
120 : x − 8 = 16
Крок 1. 120 : x — зменшуване. 120 : x = 16 + 8 = 24.
Крок 2. x — дільник. x = 120 : 24 = 5.
Перевірка: 120 : 5 − 8 = 24 − 8 = 16.
Порада: не намагайтеся розв’язати все в одному рядку. Один крок — один рядок. У 5 класі акуратний запис важить не менше за правильну відповідь, бо саме він показує, чи дитина розуміє, що робить.
Рівняння 6 класу: переносимо доданки зі зміною знака
У 6 класі з’являється прийом, який потім працює всю школу: доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. Після цього зводять подібні доданки — окремо числа з x, окремо просто числа. Саме цей прийом і дає відповідь на питання, як розв’язувати рівняння, де невідоме стоїть з обох боків.
5x − 3 = 2x + 9
Крок 1. Переносимо 2x вліво зі знаком мінус: 5x − 2x − 3 = 9.
Крок 2. Переносимо −3 вправо зі знаком плюс: 5x − 2x = 9 + 3.
Крок 3. Зводимо подібні: 3x = 12.
Крок 4. x = 12 : 3 = 4.
Перевірка: ліва частина 5 · 4 − 3 = 17, права 2 · 4 + 9 = 17. Обидві дорівнюють 17, корінь знайдено правильно.
0,4x + 1,2 = 2
Крок 1. Переносимо 1,2 вправо: 0,4x = 2 − 1,2.
Крок 2. Рахуємо: 0,4x = 0,8.
Крок 3. x = 0,8 : 0,4 = 2.
Перевірка: 0,4 · 2 + 1,2 = 0,8 + 1,2 = 2.
З десятковими дробами діти спотикаються частіше, ніж із цілими числами, хоча правила ті самі. Якщо ділення 0,8 : 0,4 викликає ступор, допомагає згадка про дії з дробами: переносимо кому в обох числах на один знак і ділимо 8 : 4.
Задача, яка перетворюється на рівняння
Найкорисніше в рівняннях — те, що вони розв’язують справжні задачі. Ось типова: мама купила 3 однакові зошити і ручку за 15 грн, за всю покупку заплатила 81 грн. Скільки коштує один зошит?
Крок 1. Невідоме — ціна зошита. Позначаємо її x.
Крок 2. Три зошити коштують 3x. Разом із ручкою — 3x + 15, і це дорівнює 81.
Крок 3. Рівняння: 3x + 15 = 81. Тоді 3x = 81 − 15 = 66, а x = 66 : 3 = 22.
Перевірка: 3 · 22 + 15 = 66 + 15 = 81. Один зошит коштує 22 грн.
Так само складають рівняння й у задачах, де треба знайти відсоток від числа, і в задачах про час у дорозі. Схема одна: назвати невідоме літерою, записати умову рівнянням, розв’язати, перевірити.
Типові помилки, які псують відповідь
- Перенесли доданок, а знак не змінили. Це найчастіша причина, чому відповідь не сходиться з перевіркою.
- Переплутали ділене з дільником у рівняннях виду 72 : x = 8.
- Забули про дужки: у (x − 4) · 5 = 35 спершу працюють із цілою дужкою, а не розкривають її поспіхом.
- Порахували правильно, але не написали перевірку — і не побачили, що x = 22 грн, а не 22 копійки.
- Залишили відповідь у вигляді 3x = 66. Рівняння розв’язане тоді, коли x стоїть сам.
Ще одна дрібниця, яка рятує на контрольній: коли ділення виходить «негарним», варто перевірити, чи число ділиться націло. Іноді досить згадати ознаку подільності — наприклад, 72 ділиться на 9, бо сума його цифр 7 + 2 = 9.
П’ять рівнянь для самоперевірки
Розв’яжіть самостійно, а потім звіртеся. Відповіді з перевіркою — нижче.
- x + 27 = 45
- 8x = 96
- 60 : x = 5
- 4x − 9 = 27
- 3x + 5 = x + 17
Відповіді.
- x = 45 − 27 = 18. Перевірка: 18 + 27 = 45.
- x = 96 : 8 = 12. Перевірка: 8 · 12 = 96.
- x = 60 : 5 = 12. Перевірка: 60 : 12 = 5.
- 4x = 27 + 9 = 36, x = 36 : 4 = 9. Перевірка: 4 · 9 − 9 = 27.
- 3x − x = 17 − 5, 2x = 12, x = 6. Перевірка: 3 · 6 + 5 = 23 і 6 + 17 = 23.
Часті запитання
Чи можна розв’язувати рівняння «на око», без правил?
Для простих випадків іноді так, і це нормально на старті. Але щойно з’являється 5x − 3 = 2x + 9, підбір перестає працювати. Правила потрібні саме для таких рівнянь.
Що робити, якщо невідоме в дужках?
Спершу сприймаємо дужку як одне ціле. У (x − 4) · 5 = 35 дужка — це невідомий множник, тож (x − 4) = 7. І аж потім розкриваємо її або розв’язуємо просте рівняння всередині.
Навіщо перевірка, якщо відповідь і так зрозуміла?
Перевірка ловить помилки в знаках і діях. Вона забирає пів хвилини, а на контрольній рятує цілий бал. До того ж підстановка привчає ставитися до відповіді як до твердження, яке можна довести.
Скільки часу має займати одне рівняння в 6 класі?
Прості — пів хвилини, з перенесенням доданків — до двох хвилин разом із перевіркою. Якщо виходить довше, варто розібрати, на якому саме кроці дитина зупиняється.
Рівняння добре тим, що їх можна перевірити власними руками: підставив число — і одразу видно, маєш рацію чи ні. Почніть із простих прикладів, наполягайте на акуратному записі кроків, і невдовзі x перестане лякати.
